Fomule magique de poliorcétique?

discussions sur les machines de siège et armes à poudre au Moyen-Age.

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erwan1972
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ven. juil. 23, 2010 4:47 pm

poil en quatre ?

Pas si sur, prenons un exemple simplifié d'un trébuchet :
huche de 10tonnes (M) qui descend de 3 mètres(h), boulet de 100kg (m)

l'équation d'énergie donne
Mgh = 0.5* mv²
soit
10 000*9.81*3 = 0.5 * 100 *v
soit 76m/s ou 276 km/h vitesse du boulet à la sortie du trébuchet

calcul de l'effort aérodynamique résistant à la sortie du trébuchet sur le boulet
f = 0.5 * rho* s * 0.47 * v²

S = pi *r²
avec un boulet de 0.3 mètres de rayon on a :
F =460 Newton
soit un pourcentage du poids de 460/(100*9.81) = 47%
donc sauf erreur de ma part au départ le boulet a une force résistante de 47% de sont poids !!!!!!!!!
que l'on parle en porté ou en énergie du boulet sur la muraille pour la détruire, le frottement de l'air diminue fortement l'efficacité.

Gloups , on dirait pas comme çà mais les anciens ils fessaient de sacré machine.
Modifié en dernier par erwan1972 le ven. juil. 23, 2010 5:05 pm, modifié 1 fois.
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Gilles du Hautbois
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ven. juil. 23, 2010 5:01 pm

Il n'est pas utile de refaire tous les réglages à chaque usage :

Un premier réglage, optimal, peut être fait à la construction par le bon choix des longueurs et masses relatives, donc toute la géométrie de la machine, ainsi que de l'angle d'ouverture de la fronde, pour obtenir un fonctionnement correct et la portée maximale. Hors combat et sur un terrain adapté, on a tout le temps d'optimiser la masse des projectiles, réutilisables dans ce cas. On peut imaginer l'usage d'abaques, de valeurs empiriques, par habitude ou expérience, ou de méthodes géométriques de construction.

Dès la machine placée en situation, à une distance de la cible au maximum égale à la portée maximale, le seul paramètre sur lequel travailler est l'angle d'ouverture de la fronde, agissant sur l'angle et la vitesse initiale, donc la portée. Quelques tirs suffisent par tâtonnement à ajuster la portée à moindres frais, j'imagine possible au bout de 2-3 heures un pilonnage efficace d'une zone précise, à la dispersion près causée par les variations de masse des projectiles et conditions météo. ;)
Cette technique reste toujours valable, on précalcule une solution de tir, puis on réajuste selon l'effet.

Ce n'est qu'une supposition, et de même on prend l'option d'une machine de siège préfabriquée et transportée/remontée sur place, pas d'une construite pour l'occasion. Cette question avait fait l'objet d'un autre débat il y a quelques années.
Dans ce dernier cas, une machine peut aussi être fabriquée sur place selon les dimensions et plans d'un modèle type déjà testé, et on se retrouve alors dans le cas précédent.

Remarque : le schéma repris de wikipédia sur cette page http://fred.elie.free.fr/armes_moyen_age.htm comporte une erreur. La trajectoire du projectile ne peut en aucun cas passer au point C' d'un arc de cercle à la trajectoire libre représentée (point anguleux physiquement injustifiable), mais forcément à une trajectoire alignée initialement avec la partie finale de l'arc de cercle.
Ainsi, les angles de verge et de fronde au moment de la libération conditionnent directement l'angle initial de trajectoire libre. Pour atteindre la portée maximale, cette libération doit donc intervenir bien avant la verticale pour garder un angle élevé, au détriment d'une légère perte de vitesse, l'énergie potentielle du contrepoids n'ayant pas été totalement récupérée.
Au point de vue énergétique, ce genre de machine montre un rendement honorable malgré les masses mobiles "mortes" très importantes, bien supérieur au catapultes rigides, grâce aux améliorations successives (fronde : multiplication "géométrique" de la vitesse, contrepoids articulé, bras flottant : réduction des effets parasites absorbant une partie de l'énergie).

En effet, les formules mises en oeuvre sont complexes, et restent issues de modèles (solides indéformables, pas de frottements internes...), sinon la résolution en serait impossible.
Dans ce genre de cas complexe une simulation numérique peut donner des résultats satisfaisants à moindres frais, et vu la relative simplicité de réalisation du mécanisme, je me demande même s'il n'est pas préférable d'expérimenter réellement par tâtonnement autour de modèles qui ont marché.
C'est vrai les anciens avaient un savoir-faire que toute notre science a bien du mal à retrouver. [img]smile/thumb.gif[/img]
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Gilles du Hautbois
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ven. juil. 23, 2010 5:11 pm

A cause de la mise en mouvement des masses "mortes", le rendement est bien inférieur à 1, si on arrive vers 50% c'est pas mal, d'où des vitesses plus proches de 55 m/s que 76.
Une pierre sphérique de 100 kg est plus proche de 45 cm de diamètre que 60.

Malgré cela, la traînée représente 0,10 à 0,15 g, ce qui entraîne une diminution de portée de plusieurs dizaines de mètres, loin d'être négligeable en rapport avec d'autres approximations.
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ven. juil. 23, 2010 5:27 pm

Je pense que la porté a son importance car perdre des dizaines de mètres c'est éventuellement se mettre à porté de tir d'archée ou autre engin. Or vue la taille du trébuchet et le temps de chargement, je pense qu'il est inacceptable (on risque trop sa vie) d'être à portée de tir ennemi.

de plus, vue les vitesses en jeu le carré n'est plus suffisant on serait proche du cube v*v*v

voir les tables de Cranz (à partir de la page 44)
http://ia340904.us.archive.org/2/items/ ... anuoft.pdf
(fort intéressant sur la balistique extérieur)

Pour la portance, possible qu'il faille en tenir compte ! je crois que les anciens catapultaient les chevaux morts. çà doit bien avoir un effet de portance, non ? :crazy: :crazy:

même avec une efficacité fort honorable de 50% soit 56m/s c'est du 201 km/h, bien plus que ma voiture, ma vitesse de frappe de balle au tennis ...

fou, non ?
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Gilles du Hautbois
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ven. juil. 23, 2010 6:19 pm

Même 55 m/s me paraîssent irréalistes, trop de rendements partiels non pris en compte, je lance une simulation numérique avec :
Vo=45 m/s, angle 35°, hauteur de libération 20m, masse 100kg, SCx=0,067.

=> Portée évaluée à 208 m avec traînée aérodynamique, 220m sans. Même pour des vitesses "faibles" et des masses importantes, l'effet est sensible. :top:

Non, on est encore très loin du domaine de vitesse correspondant au v^3, on ne dérive sensiblement du v^2 qu'à l'approche du transsonique (au moins 0,7 Mach).
La portance est nulle sur un projectile sphérique à moins d'avoir une vitesse de rotation conséquente, d'ordre de grandeur bien supérieur à ce qu'on peut obtenir ici. La rotation probable exclut un effet cumulé sensible sur un objet de forme quelconque (cadavre,...), mais la portance éventuelle peut induire une dispersion notable des tirs, totalement imprévisible.

Que ce soit dans le domaine des armes à main comme l'arc ou celui des machines de siège, le XVIème siècle voit l'aboutissement de l'évolution de ces armes à accumulation d'énergie, supplantées uniquement après plus de deux siècles de perfectionnement des armes à feu.
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ven. juil. 23, 2010 7:15 pm

je me suis un peu emporter sur le cube (v*v*v) :/

Le Mécanisme est simple, les poids sont colossaux (huche de 10 à 15 tonnes), le boulet représente que 1 % du poids de la huche, les axes peuvent être graissé (graisse de bœuf, porc...) , les vitesses élevées ne sont que sur une faible partie (la fronde), le bras de levier sur les reproductions ne semble pas beaucoup plier...

55m/s (soit 200km/h) me parait pour moi possible.

c'est pas un argument, mais plus, un point de comparaison :
un tennisman professionnel frappe une balle à plus de 200km/h.

a t on des mesures sur des reproductions ?
erwan1972
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mar. juil. 27, 2010 3:06 pm

pour ceux que cela intéresse, la résolution sans approximation de l'équation de la balistique extérieure, se fait via la méthode de la "quadrature" (décomposition de fraction polynomiale).
voir le document
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS ... 7__1_0.pdf

le principe est de se placer dans un repère d'Euler (lié au projectile)

avec comme repère la tangente à la trajectoire T et sa perpendiculaire N

la position dans ce repère sera pour la vitesse
vN = N°= 0
vT= T°= v

mais pour l'accélération les formules sont
T°° = dv/dt
N°°= -v * d alpha /dt

avec alpha angle entre la trajectoire et l'horizon

d'où les formules fondamentales de la dynamique sont
sur T
m dv/dt = - m g * sin(alpha) - 0.5 s rho c v²
sur N
v d alpha /dt = - g * cos(alpha)
d'où
(1/v) dv/d alpha = tan (alpha) - (0.5 sc v²) / (m g cos (alpha))

appelé aussi équation de l'hodographe

on pose K = (0.5 rho c) /( m g)

alors (1/v) dv/d alpha = tan (alpha) - (K v²) / cos (alpha)

on pose 1/v²= p * q
en fait on remplace une variable (v) par deux variables (p et q)
par différenciation on a -2 d v /(v²*v) = p dq +q dp

or (1/v) dv = (tan (alpha) - (K v²) / cos (alpha) ) *d alpha

d'où -2 * (1/v²) * ( (tan (alpha) - (K v²) / cos (alpha) ) *d alpha) = p dq +q dp

d'où 0 = p ( - 2 q tan (alpha) *d alpha + dq ) +q dp - 2k d alpha / cos (alpha)

on fixe une des variables tel que on annule le terme de p soit - 2 q tan (alpha) *d alpha + dq = 0

d'où dq /q = - 2 tan (alpha) *d alpha qui s'intègre facilement. la solution est q = cos² (alpha)

il reste de l'équation : q dp - 2K d alpha / cos (alpha) =0
or on connait maintenant l'expression analytique de q
d'où
cos²(alpha) dp = 2K d alpha / cos (alpha)
d'où
dp = 2K d alpha / (cos (alpha) )^3
qui s'intègre

donc on connait entièrement v car n'oublions pas 1/v²= p * q

çà y est plus de difficulté notable, on obtient après quelques calculs :
v² =( (v0 *cos(alpha) )²)/ (cos² (alpha) * (1 - (v0²/vlim²) * cos² (alpha 0) * ( ln(tan(alpha/2 + pi/4) )+ sin alpha / cos²(alpha) - (ln(tan(alpha0/2 + pi/4) + sin(alpha0) / cos²(alpha0) )))

avec vlim (mg/(0.5S rho c))^0.5
v0 = vitesse en sortie de trébuchet
et alpha0 angle de sortie du boulet avec l'horizon du trébuchet

d'où on tire pour un repère non eulérien (fixé au trébuchet)
x = x0 + intégral de (v² d alpha) de alpha 0 à alpha
y = y0 + intégral de (v² tangante (alpha) d alpha) de alpha 0 à alpha

bon, là il faut l'intégrer un truc méga lourd, je sait pas si il est possible d'avoir une solution analytique. De toute façon les soft numériques font çà très bien (voir un tableur) compte-tenu de la précision requisse (10 centimètres) et vu les hypothèses simplificatrices faite.

cordialement

NB1 : cos² (alpha) = cos (alpha) * cos (alpha)
NB2 :d alpha = dérivé partielle (totale exacte) suivant la variable alpha
erwan1972
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mer. juil. 28, 2010 7:44 pm

rentrons maintenant dans le vif du sujet : la porté de tir.
avec un cas sans frottement et en considérant que la hauteur de tir n'entre pas en jeux (hauteur de départ identique à la hauteur d'arrivée)
la portée de tir est TIR = vo²*sin (2*alpha0)/g

au passage, on remarque que l'angle optimal pour une bouche à feu est donc de 45°

coté trébuchet un transferts d'énergie parfait nous avons
M*g*h=0.5*m*vo²

d'où
TIR = 2*g*h*(M/m)*sin (2*alpha0)

avec h la hauteur de chute
la hauteur de chute est lié à l'angle de tir

soit l la longueur entre l'axe du trébuchet et la huche

h= l *( sin (pi/2 - alpha0) - sin (const) )

avec const due à l'angle de départ (nulle par la suite pour simplifier)

d'où h= l* cos (alpha0)

d'où TIR = 2*g*l *cos (alpha0)*(M/m)*sin (2*alpha0)

on en déduit qu'il existe un angle ou la portée est maximisé
c'est à dire quand d TIR /d alpha = 0
soit d ( 2*g*l *cos (alpha0)*(M/m)*sin (2*alpha0) )/d alpha = 0
soit d(cos (alpha0)*sin (2*alpha0)) =0
or sin (2*alpha0) = 2*sin (alpha0)*cos (alpha0)

soit d(cos² (alpha0)* sin (alpha0) ) =0

soit - 2 sin² cos + cos^3 = 0
soit -2 sin² + cos² =0
or cos²+sin²=1
d'où -3 sin² + 1=0
d'où alpha0 = inverse de sin (1/racine carré (3) )
soit alpha0 = 35 degrés
on remarque que l'angle optimal est différent d'une bouche à feu !

on pourrait raffiner le calcul en prenant en compte la hauteur du boulet par rapport au sol
d = v * cos( alpha0) * 1/g * ( v *sin alpha0 + ( (v sin alpha0)^2 + 2g*y0 )^0.5)

y0 = hauteur ou le boulet se sépare du trébuchet
Modifié en dernier par erwan1972 le mar. août 10, 2010 3:39 pm, modifié 1 fois.
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Gilles du Hautbois
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soit alpha0 = 35 degrés
on remarque que l'angle optimal est différent d'une bouche à feu !
Ce choix d'angle pour ma simulation numérique n'était pas un hasard. ;)

La différence avec une arme à énergie indépendante (arc, bouche à feu) est que l'énergie récupérée par le projectile dépend de l'angle de tir. Plus on tarde à le libérer, plus le contrepoids est descendu et a transféré d'énergie. L'angle optimal est donc bien après les 45° habituels en balistique. A l'extrême opposé, l'énergie récupérée est maximale quand l'angle est nul (tir à l'horizontale), mais évidemment dans ce cas la portée sera faible. Le compromis est donc logiquement entre 45 et 0°, restait juste à trouver exactement combien. L'itération par simulation ou la résolution directe donnent le même angle pour ce cas.

Prendre l'hypothèse d'un transfert d'énergie parfait est abusif pour le calcul de la vitesse initiale et de la portée, mais comme le rendement dépend peu de l'angle de tir, c'est acceptable pour le calcul de l'angle optimal. Une fois cet angle fixé, ce n'est plus un problème d'intégrer un rendement dans le transfert d'énergie, du au fait que l'on accélère d'importantes masses "mortes" en plus du projectile. Grossièrement entre 30 et 50%, on peut retenir 40% en première idée. Pas le temps de refaire des calculs ici, mais on devrait retomber sur des vitesses de l'ordre de 45 - 50 m/s et donc des portées de 200 - 250 m.
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mar. août 10, 2010 11:28 am

Le but du trébuchet est un destructeur de muraille. Pour un maximum d'efficacité il faut donc maximiser l'énergie du boulet lors de l'impact;
soit maximiser 1/2 *m*v² à l'impact
l'impact correspond à x et y particulier noté xi et yi; il correspond aussi à un alpha particulier noté alphai comme à une vitesse noté vi

supposons pour simplifier que la cible à viser est à la même hauteur que la hauteur de séparation du trébuchet avec le boulet soit xi =0, nous avont affaire à la porté de tir.

Et supposons :
-un cas sans frottement
-coté trébuchet un transferts d'énergie parfait

nous savons alors que : TIR = vo²*sin (2*alpha0)/g

comme il n'y a pas de perte par frottement, il y a pas de perte d'énergie
d'où E= 1/2 * m *v0² = 1/2*m *vi²
d'où maximiser l'énergie à l'impact c'est équivalent à maximiser l'énergie de départ

or l'énergie de départ est : M*g*h=0.5*m*vo²
avec h= l* cos (alpha0)

il faut exprimer vo² sans la variable alpha0 à l'aide des deux équations
v0² = 2*g*l*cos (alpha0)*(M/m)
et
TIR = vo²*sin (2*alpha0)/g
or 2*sin (alpha0)*cos (alpha0)

d'où
v0² = 2*g*l*cos (alpha0)*(M/m)
et
TIR = vo²*2*sin (alpha0)*cos (alpha0)/g
d'où
v0² = 2*g*l*cos (alpha0)*(M/m)
et
TIR = vo²*2*sin (alpha0)*(v0² /( 2*g*l*(M/m)) )/g

or cos² +sin² =1

donc enfin 1 = v0²/( 2*g*l*(M/m))² + (TIR*g²*l*(M/m) /(vo^4))²

on pose f= g* l* (M/m) et e= TIR*g

d'où
(v0²/2*f)² + (e*f /(vo^4))² =1

on pose z = v0^4

z/(4f²) + e²*f² /z² =1

d'où z^3/(4f²) +e²*f² - z² = 0

d'où z^3+4*e²*f^4 - 4f²z² =0

polynôme du troisième degrés qui a une solution (via la méthode de Cardan)

l'équation z^3 + a.z² + b.z + c = 0

on pose p = b – a²/3 et q = (a/27 )*(2a²- 9b) + c et z = Z – a/3

la solution est Z = (- q/2 + 0.5 *( (4*p^3+27*q² )/27)^0.5 )^1/3 + (- q/2 - 0.5* ((4*p^3+27*q²)/27)^0.5 )^1/3

vo² = une solution méga lourde avec plein de fraction et racine cubique carré mais faisable analytiquement

Par contre on remarque que si M/m augmente alors f augmente et est très supérieure à 1 (comme e)
d'après z^3+4*e²*f^4 - 4f²z² =0 on peux simplifier en
4*e²*f^4 - 4f²z² = 0
d'où
z²= e²b²
z = eb
donc v0^4 =TIR*g *g* l* (M/m)

comme le trébuchet par construction à une longueur l fixe, la gravité est fixe et la distance de TIR est fixe, il faut maximiser M/m.
donc mettre un maximum de poids dans la huche, le réglage de tir se fait uniquement avec l'angle alpha 0 (angle qui a une influence partielle, cette influence provoque une équation délirante).

pour être plus précis il faudrait faire le même raisonnement avec frottement, vi² est connue :
vi² =( (v0 *cos(alphai) )²)/ (cos² (alphai) * (1 - (v0²/vlim²) * cos² (alpha 0) * ( ln(tan(alphai/2 + pi/4) )+ sin alphai / cos²(alphai) - (ln(tan(alpha0/2 + pi/4) + sin(alpha0) / cos²(alpha0) )))
on rajoute l'équation d'énergie
v0² = (M*g*h)/(0.5*m)
on rajoute l'équation de la porté de tir avec frottement on lie alphai et alpha0.
on rajoute la contrainte
maximiser 0.5*m*vi²
avec ces équations on a un systéme d'équation ré solvable

En raisonnant, l'énergie d'impact dépend des pertes par frottement. Les pertes par frottement dépendent de la distance parcourue et de la vitesse initiale. donc les pertes totales dépendent des pertes due à la vitesse initial et des pertes due à l'angle de tir

Intuitivement plus la vitesse initiale est importante plus l'énergie à l'arrivée est importante, donc un maximum de poids dans la huche. Autrement dit l'influence de l'angle (augmentation de la distance parcouru) n'est pas suffisant pour contre carré les gains due à l'augmentation d'énergie de départ.

Gilles du Hautbois si tu peux mettre çà dans un logiciel pour confirmer

cordialement
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Gilles du Hautbois
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jeu. août 12, 2010 7:45 pm

Pour un maximum d'efficacité il faut donc maximiser l'énergie du boulet lors de l'impact
Cette contrainte de départ, d'où découle tout ce post, est incomplète...
Il faut maximiser l'énergie à l'impact (m*v^2), oui, mais aussi la portée (v^2), sinon on se retrouve à tirer à bout portant à l'horizontale et alors autant utiliser un bélier.
De plus on voit en pratique qu'il faut aussi maximiser la quantité de mouvement (m*v) à l'impact pour augmenter les effets de destruction, pas seulement l'énergie. L'influence de la vitesse s'en trouve diminué par rapport à celle de la masse.
On se trouve à vouloir maximiser simultanément m*v, m*v^2, et v^2 !
Ce compromis dépend beaucoup de la cible (élasticité, dureté, rigidité, friabilité...) pas la peine de chercher quelque chose de formel.

Personnellement je préfère comprendre et ressentir le phénomène physique que résoudre des tonnes d'équations, et bien souvent la solution apparaît d'elle même, avec un minimum de calculs.

Bien sûr plus le contrepoids est massif comparé aux masses de structures mobiles, plus on a d'énergie à disposition, mais on est évidemment limité par la résistance de ces structures. En l'absence de matériau plus performant (fibres synthétiques, alliages spéciaux, composites...), une fois la meilleure essence de bois trouvée, il n'y a plus grand chose à gagner de ce côté. Des masses de 15-20 tonnes semblent être le maximum possible à ces époques.

La masse du projectile est un compromis. Très léger, il porte loin mais a peu d'effet. Très lourd, il récupère un maximum d'énergie mais la machine est à portée des défenses. Un rapport de l'ordre de 100 entre la masse du contrepoids et celle du projectile donne de bons résultats en pratique, simultanément en portée et efficacité.

Et quant à l'angle de tir, nos deux méthodes précédentes convergeaient vers 35°, dans le cas retenu. Les résultats (portée,...) montraient alors des valeurs compatibles avec ce que l'on admet des machines historiques.

Que chercher de plus ?
Vu le cumul des incertitudes sur chaque paramètres (penser à toutes les inconnues sur les choses réelles, le bois n'est pas homogène, pas totalement élastique, pas constant,...) on ne peut obtenir que des ordres de grandeur, pas des valeurs béton.
Il n'y a pas de "formule magique" qui donne la configuration idéale du premier coup. :top:
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ven. août 13, 2010 11:44 am

Avec le recul le trébuchet ferait un bon sujet pour un concours d'entrée à une grande école.
Mais Gilles, tu as raison, ce que l'on veut c'est çà un destructeur de muraille, relativement simple et efficace :
http://www.youtube.com/watch?v=L1EAA7pk ... re=related

cordialement
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cassetrogne
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sam. août 14, 2010 7:43 am

Il y a du recul quand on tire au trébuchet ? :roi:
Cassetrogne, Ménestrier aux Coquillards de Villon
http://www.coquillards-de-villon.com
http://coquillards.leforum.eu
Si sibi pilosus est, legitimus !
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sam. août 14, 2010 4:52 pm

Étonnamment, oui ! :D

C'est du au déplacement avant-arrière du contrepoids sur son arc de cercle, et les améliorations les plus récentes de ces machines portent justement sur ce point. Contrepoids articulé, bras flottant, montage sur roues, servent à donner une liberté au balancier pour que ce recul ne soit pas bloqué ou communiqué au chassis. ça limite beaucoup les contraintes et gagne en rendement. ;)

La vidéo est démonstrative sur ce point, voir à 5'50 le déplacement du petit trébuchet sur ses roues en réaction au déplacement du contrepoids rigide.

Cette vidéo montre aussi les phases d'optimisation et de réglage de tir. On y retrouve les moyens d'actions évoqués dans ce sujet, augmentation de la masse du contrepoids, et surtout ajustement de l'angle de libération du projectile (par la forme de l'ergot de retenue de la fronde). Le premier tir était libéré bien trop tôt, faible énergie récupérée et trajectoire trop haute, d'où la faible portée. Après ces deux corrections, le troisième tir est à bonne portée.
On voit aussi qu'une fois la machine en place, le réglage fin latéral peut se faire par le décalage de la rampe.

Belle expérience qui prouve l'efficacité d'une approche pratique par tâtonnement. :top:
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SireBlunte
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mer. janv. 19, 2011 11:46 pm

Si je peu me permettre si tu cherche juste a faire un calcule de trajectoire c'est asse simple si tu a la force de tir avant que le projectile quitte ton lanceur c'est un niveau terminale S en négligent les forces de frottement:

selon la seconde loi de newton:

on à P=F
F=ma et P=mg

donc ma=mg
donc a=g

en projetant sur un axe [Oxy)

on a:
ax=0
ay=-g

on sait que a=dv/dt

donc:
ax=dvx/dt=0
ay=dvy/dt=-g

en intégrant

vx=constante
vy=-gt+constante'

on determine les constantes à l'origine

vx=V0cos(alpha)
vy=-gt+V0sin(alpha)

mai on sait que

vx=dx/dt=V0cos(alpha)
vy=dy/dt=-gt+V0sin(alpha)

on intégre

x=V0cos(alpha)+constante''
y=-gt²/2+V0sin(alpha)t+constante'''

on determine les constantes à l'origine

x=V0cos(alpha)t+x(origine)
y=-gt²/2+V0sin(alpha)t+y(origine)

calcule ton temps de chute et tu auras ta distance de tir
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